网络棋牌游戏赚_网络棋牌游戏赚如何优雅地读懂支持向量机SVM算法

中国围棋网2018年01月13日 12时01分46秒
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支持向量机基本上是最好的有监督学习算法了。最开始接触SVM是去年暑假的时候,老师要求交《统计学习理论》的报告,那时去网上下了一份入门教程,里面讲的很通俗,当时只是大致了解了一些相关概念。

这次斯坦福提供的学习材料,让我重新学习了一些SVM知识。我看很多正统的讲法都是从VC 维理论和结构风险最小原理出发,然后引出SVM什么的,还有些资料上来就讲分类超平面什么的。

这份材料从前几节讲的logistic回归出发,引出了SVM,既揭示了模型间的联系,也让人觉得过渡更自然。

重新审视logistic回归

Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型,而这个模型是将特性的线性组合作为自变量,由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。

因此,使用logistic函数(或称作sigmoid函数)将自变量映射到(0,1)上,映射后的值被认为是属于y=1的概率。

形式化表示就是

假设函数

其中x是n维特征向量,函数g就是logistic函数。

的图像是

可以看到,将无穷映射到了(0,1)。

而假设函数就是特征属于y=1的概率。

当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时,只需求,若大于0.5就是y=1的类,反之属于y=0类。


Logistic回归就是要学习得到,使得正例的特征远大于0,负例的特征远小于0,强调在全部训练实例上达到这个目标。

图形化表示如下:


中间那条线是,logistic回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就中间那条线。

考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是×类别的,然而C我们是不太确定的,B还算能够确定。这样我们可以得出结论,我们更应该关心靠近中间分割线的点,让他们尽可能地远离中间线,而不是在所有点上达到最优。

因为那样的话,要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和logistic回归的不同点,一个考虑局部(不关心已经确定远离的点),一个考虑全局(已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离)。这是我的个人直观理解。

形式化表示

我们这次使用的结果标签是y=-1,y=1,替换在logistic回归中使用的y=0和y=1。同时将替换成w和b。

也就是说除了y由y=0变为y=-1,只是标记不同外,与logistic回归的形式化表示没区别。再明确下假设函数

上一节提到过我们只需考虑的正负问题,而不用关心g(z),因此我们这里将g(z)做一个简化,将其简单映射到y=-1和y=1上。映射关系如下:

函数间隔(functional margin)和几何间隔(geometric margin)

给定一个训练样本,x是特征,y是结果标签。i表示第i个样本。我们定义函数间隔如下:

这样,我们为了限制w和b,可能需要加入归一化条件,毕竟求解的目标是确定唯一一个w和b,而不是多组线性相关的向量。这个归一化一会再考虑。

刚刚我们定义的函数间隔是针对某一个样本的,现在我们定义全局样本上的函数间隔

说白了就是在训练样本上分类正例和负例确信度最小那个函数间隔。

接下来定义几何间隔,先看图


进一步得到


实际上就是点到平面距离。


再换种更加优雅的写法:


时,不就是函数间隔吗?是的,前面提到的函数间隔归一化结果就是几何间隔。

他们为什么会一样呢?因为函数间隔是我们定义的,在定义的时候就有几何间隔的色彩。同样,同时扩大w和b,w扩大几倍,就扩大几倍,结果无影响。同样定义全局的几何间隔

最优间隔分类器(optimal margin classifier)

回想前面我们提到我们的目标是寻找一个超平面,使得离超平面比较近的点能有更大的间距。也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面,我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。

形象的说,我们将上面的图看作是一张纸,我们要找一条折线,按照这条折线折叠后,离折线最近的点的间距比其他折线都要大。形式化表示为:

到此,我们已经将模型定义出来了。如果求得了w和b,那么来一个特征x,我们就能够分类了,称为最优间隔分类器。接下的问题就是如何求解w和b的问题了。

这时候其实我们求的最大值仍然是几何间隔,只不过此时的w不受的约束了。然而这个时候目标函数仍然不是凸函数,没法直接代入优化软件里计算。我们还要改写。

前面说到同时扩大w和b对结果没有影响,但我们最后要求的仍然是w和b的确定值,不是他们的一组倍数值,因此,我们需要对做一些限制,以保证我们解是唯一的。

这下好了,只有线性约束了,而且是个典型的二次规划问题(目标函数是自变量的二次函数)。代入优化软件可解。

到这里发现,这个讲义虽然没有像其他讲义一样先画好图,画好分类超平面,在图上标示出间隔那么直观,但每一步推导有理有据,依靠思路的流畅性来推导出目标函数和约束。

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